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Identités remarquables

    Soient a et b deux nombres réels.

    ( a + b )² = a² + 2ab + b² .
    ( a - b )² = a² - 2ab + b² .
    ( a - b )( a + b ) = a² - b² .

   

Développements

    Développer signifie que l'on transforme un produit en une somme.
    Pour tous réels a,b,c et d , on a :

    a( b + c ) = a*b + a*c
   ( a + b )( c + d ) = a*c + a*d + b*c + b*d
   

Exemples :

    Développer et réduire les expressions suivantes :

    2( x + 3 ) = 2*x + 2*3
    2( x + 3 ) = 2x + 6

   ( 2x - 1 )( 3x - 4 ) = 2x*3x + 2x*(- 4) + (- 1)*3x + (- 1)*(- 4)
   ( 2x - 1 )( 3x - 4 ) = 6x² - 8x - 3x + 4
   ( 2x - 1 )( 3x - 4 ) = 6x² - 11x + 4

   Avec une identité remarquable :

   ( 2x - 1 )² = (2x)² - 2*2x*1 + 1²
   ( 2x - 1 )² = 4x² - 4x + 1

   

Factorisations

    Factoriser signifie que l'on transforme une somme en un produit.
    Pour factoriser une expression , on peut rechercher un facteur commun ou utiliser une identité remarquable.
   

Exemples :

    Factoriser à l'aide d'un facteur commun :

    3x² - 5x = 3x*x - 5*x
    3x² - 5x = x( 3x - 5 )

    ( x - 1 )² + 5x( x - 1 ) = ( x - 1 )*( x - 1 ) + 5x*( x - 1 )
    ( x - 1 )² + 5x( x - 1 ) = ( x - 1 )[ x - 1 + 5x ]
    ( x - 1 )² + 5x( x - 1 ) = ( x - 1 )[ 6x - 1 ]

    Factoriser à l'aide d'une identité remarquable :

    9x² - 12x + 4 = (3x)² - 2*3x*2 + 2²
    9x² - 12x + 4 = ( 3x - 2 )²

    9x² - 4 = (3x)² - 2²
    9x² - 4 = ( 3x - 2 )( 3x + 2 )

    Attention ! Ne confondez pas ( 3x - 2 )² et (3x)² - 2².

   

Equations

    Deux règles à ne pas oublier :
    Pour supprimer une addition , on soustrait ( et réciproquement )
    Pour supprimer une multiplication par un nombre non nul , on divise ( et réciproquement )
   

Exemples :

    Résoudre les équations suivantes :

    2x - 7 = 0
    2x = 7
    x = 7/2

    S = { 7/2 }

    x/3 + 5 = 0
    x/3 = - 5
    x = - 5 * 3
    x = - 15

    S = { - 15 }

   

Equation-produit A(x)*B(x) = 0 :

    Sachant qu'un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul ,
    l'équation A(x)*B(x) = 0   équivaut à   A(x) = 0   ou   B(x) = 0.
   

Exemple :

    3x( 2x - 7 )( x + 8 ) = 0
    équivaut à   3x = 0   ou   2x - 7 = 0   ou   x + 8 = 0
    équivaut à   x = 0/3   ou   2x = 7   ou   x = - 8
    équivaut à   x = 0   ou   x = 7/2   ou   x = - 8

    S = { 0 ; 7/2 ; - 8 }

   

Equation-quotient

A(x)	= 0
B(x)

    Dans un quotient , le dénominateur ne peut pas être égal à 0.
    Les valeurs de x qui annulent le dénominateur s'appellent les valeurs interdites du quotient.
    En se plaçant dans le cas où x n'est égal à aucune valeur interdite du quotient :
    un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul.
   

Exemple :

    Pour x différent de - 8 , l'équation

2x-7	= 0
x+8

    équivaut à l'équation   2x - 7 = 0
    et a donc pour solution   x = 7/2

    S = { 7/2 }