Soit f et g deux fonctions définies sur un ensemble D de courbes représentatives C
f et C
g.
Courbe
Un point M(x;y) appartient à la courbe C
f si et seulement si x appartient à D et y = f(x).
L'abscisse x est
un antécédent de y par f.
L'ordonnée y est
l'image de x par f.
L'ensemble de définition D est l'ensemble des abscisses des points de la courbe C
f ,
c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de x qui ont une image par f.
Sens de variation
f est
strictement croissante sur un intervalle I si pour tous réels x
1 < x
2 dans I , on a f(x
1) < f(x
2).
f est
strictement décroissante sur un intervalle I si pour tous réels x
1 < x
2 dans I , on a f(x
1) > f(x
2).
Exemple :
Sur le graphique ci-dessous , la fonction f est strictement croissante sur [a;b] et sur [0;c] ,
elle est strictement décroissante sur [b;0].
Nous pouvons résumer ces informations dans un
tableau de variations :
Signe
f est
strictement positive sur un ensemble E si pour tout réel x de E , on a f(x) > 0.
Graphiquement , sur E , la courbe C
f est au-dessus de l'axe des abscisses.
f est
strictement négative sur un ensemble E si pour tout réel x de E , on a f(x) < 0.
Graphiquement , sur E , la courbe C
f est au-dessous de l'axe des abscisses.
Exemple :
Sur le graphique ci-dessous , la fonction f est strictement positive sur ]d;0[ et sur ]0;c] ,
elle est strictement négative sur [a;d[ , elle s'annule en d et 0.
Nous pouvons résumer ces informations dans un
tableau de signes :
Résoudre l'équation f(x) = k , où k est un réel fixé :
C'est trouver tous les réels x dont l'image par f est égale à k.
Graphiquement , c'est trouver les abscisses des points de C
f situés sur la droite d'équation y = k.
Résoudre l'inéquation f(x) < k , où k est un réel fixé :
C'est trouver tous les réels x dont l'image par f est strictement inférieure à k.
Graphiquement , c'est trouver les abscisses des points de C
f situés au-dessous de la droite d'équation y = k.
Exemple :
Une fonction f est définie sur l'intervalle [- 4;4] par la courbe ci-dessous.
L'équation f(x) = 2 admet pour ensemble solution S = { - 3 ; - 1 ; 3 }.
L'inéquation f(x) < 2 admet pour ensemble solution S = [ - 4 ; -3 [ U ] - 1 ; 3 [.
Résoudre l'équation f(x) = g(x) ,
C'est trouver tous les réels x dont l'image par f est égale à l'image par g.
Graphiquement , c'est trouver les abscisses des points d'intersection de C
f et C
g.
Résoudre l'inéquation f(x) > g(x) ,
C'est trouver tous les réels x dont l'image par f est strictement supérieure à l'image par g.
Graphiquement , c'est trouver les abscisses des points de C
f situés au-dessus de C
g.
Exemple :
Deux fonctions f et g sont définies sur l'intervalle [- 4;4] par leurs courbes ci-dessous.
L'équation f(x) = g(x) admet pour ensemble solution S = { - 3 ; - 1 ; 2 }.
L'inéquation f(x) > g(x) admet pour ensemble solution S = ] - 3 ; -1 [ U ] 2 ; 4 ].
Attention ! Une résolution graphique est en général une résolution approchée.